Question

4．已知函数f（x）=|1-$\frac{1}{x}$|，（x＞0）．
（1）当0＜a＜b，且f（a）=f（b），求证：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=2；
（2）是否存在实数a，b（1≤a≤b），使得函数y=f（x）的定义域、值域都是[a，b]，若存在则求出a，b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）作出函数f（x）的图象，由图象可得，0＜a＜1＜b，去绝对值，即可得证；
（2）假设存在实数a，b（1≤a≤b），使得函数y=f（x）的定义域、值域都是[a，b]，运用单调性，结合方程的解，即可判断．

解答 解：（1）证明：作出函数f（x）的图象，如图：
由图象可得，0＜a＜1＜b，
即有$\frac{1}{a}$-1=1-$\frac{1}{b}$，即为$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=2；
（2）假设存在实数a，b（1≤a≤b），
使得函数y=f（x）的定义域、值域都是[a，b]，
由f（x）在[1，+∞）递增，可得f（a）=a，f（b）=b，
即有1-$\frac{1}{a}$=a，1-$\frac{1}{b}$=b，
即a，b为方程1-$\frac{1}{x}$=x的两根，
由1-$\frac{1}{x}$=x即x²-x+1=0无解，
则不存在实数a，b（1≤a≤b），
使得函数y=f（x）的定义域、值域都是[a，b]．

点评 本题考查函数的性质和运用，考查定义域和值域的求法，注意运用图象和单调性解题，属于中档题．