Question

13．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x-x²则不等式xf（x）≤0的解集是{x|x≤-2，或x≥2，或x=0}．

Answer 1

分析 根据f（x）为奇函数，可设x＜0，从而-x＞0，带入x≥0时f（x）解析式即可得出x＜0时，f（x）=2x+x²，这样便可由原不等式得到$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{2x+{x}^{2}≥0}\end{array}\right.，或\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{2x-{x}^{2}≤0}\end{array}\right.$，从而解不等式组即可得出原不等式的解集．

解答 解：设x＜0，-x＞0，则f（-x）=-2x-x²=-f（x）；
∴f（x）=2x+x²；
∴由xf（x）≤0得：
$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{2x+{x}^{2}≥0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{2x-{x}^{2}≤0}\end{array}\right.$；
解得x≤-2，或x≥2，或x=0；
∴原不等式的解集为{x|x≤-2，或x≥2，或x=0}．
故答案为：{x|x≤-2，或x≥2，或x=0}．

点评 考查奇函数的定义，知道一函数在一区间上的解析式，根据函数奇偶性求其对称区间上解析式的方法，不等式f（x）g（x）≤0的解法，解一元二次不等式．