Question

18．函数f（x）的定义域D={x|x≠0}，且满足对任意x都有：f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
（1）求f（1），f（-1）的值．
（2）证明f（x）为偶函数；
（3）如果x＞1时，f（x）＞0，证明f（x）在（0，+∞）为增函数，并解不等式：$f（2-\frac{1}{x}）+f（x）≤0$．

Answer 1

分析 （1）利用特殊值的方法，令x₁=x₂=1，和令x₁=x₂=-1，分别求出f（1），f（-1）的值；
（2）利用定义法证明函数的奇偶性；
（3）利用定义法判断函数单调性，任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，对式子进行变形，可得f（x₂）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$x₁）-f（x₁）；对不等式：$f（2-\frac{1}{x}）+f（x）≤0$，利用条件得出f（2z-1）≤f（1），利用偶函数和单调性得出解集．

解答 解：（1）令x₁=x₂=1
∴f（1）=f（1）+f（1）
∴f（1）=0；
令x₁=x₂=-1
∴f（1）=f（-1）+f（-1）
∴f（-1）=0；
（2）令x₁=-1，x₂=x
∴f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x）
∴f（x）为偶函数；
（3）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
f（x₂）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$x₁）-f（x₁）
=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0
∴f（x）在（0，+∞）为增函数；
∵$f（2-\frac{1}{x}）+f（x）≤0$，
∴f（2z-1）≤f（1）
∴-1≤2x-1≤1，且x≠$\frac{1}{2}$，x≠0
∴x∈（0，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，1]

点评 考察了抽象函数和函数的奇偶性，单调性．属于常考题型，应熟练掌握解题方法．