Question

8．求下列函数的单调区间：
（1）y=-x²+2|x-1|+3；
（2）y=$\sqrt{{x}^{2}-6x+9}$+$\sqrt{{x}^{2}+6x+9}$．

Answer 1

分析 （1）去绝对值号得到y=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+1}&{x≥1}\\{-{x}^{2}-2x+5}&{x＜1}\end{array}\right.$，这样变成了分段函数，在每段上都是二次函数，根据二次函数的单调区间的求法求该函数的单调区间即可；
（2）通过配方，便可去掉根号得到y=|x-3|+|x+3|，然后去绝对值号，根据一次函数的单调性即可得出该函数的单调区间．

解答 解：（1）y=-x²+2|x-1|+3=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+1}&{x≥1}\\{-{x}^{2}-2x+5}&{x＜1}\end{array}\right.$；
∴①x≥1时，该函数在[1，+∞）上单调递减；
②x＜1时，在（-1，1）单调递减，且-1²+2×1+1=-1²-2×1+5，在（-∞，-1]单调递增；
∴该函数在（-1，+∞）上单调递减，在（-∞，-1]上单调递增；
（2）$y=\sqrt{{x}^{2}-6x+9}+\sqrt{{x}^{2}+6x+9}$=|x-3|+|x+3|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x}&{x≤-3}\\{6}&{-3＜x＜3}\\{2x}&{x≥3}\end{array}\right.$；
∴该函数在（-∞，-3]上单调递减，在[3，+∞）上单调递增．

点评 考查含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，带根号的情况可考虑变成完全平方的形式去根号，以及二次函数的单调区间的求法，一次函数和分段函数的单调性的判断．