Question

18．指数函数y=（a-1）^x与$y={（\frac{1}{a}）^x}$具有不同的单调性，比较m=${（a-1）^{\frac{1}{3}}}$与n=${（\frac{1}{a}）^3}$的大小关系．

Answer 1

分析 由指数函数y=（a-1）^x与$y={（\frac{1}{a}）^x}$具有不同的单调性，可得：$\left\{\begin{array}{l}a-1＞1\\ 0＜\frac{1}{a}＜1\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}＞1\\ 0＜a-1＜1\end{array}\right.$，解得a的取值范围，结合幂函数的图象和性质，得到答案．

解答 解：∵指数函数y=（a-1）^x与$y={（\frac{1}{a}）^x}$具有不同的单调性，
∴$\left\{\begin{array}{l}a-1＞1\\ 0＜\frac{1}{a}＜1\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}＞1\\ 0＜a-1＜1\end{array}\right.$，
解得：a＞2，
则m=${（a-1）^{\frac{1}{3}}}$＞${（2-1）}^{\frac{1}{3}}$=1，
n=${（\frac{1}{a}）^3}$＜${（\frac{1}{2}）}^{3}$＜$\frac{1}{8}$，
故m＞n．

点评 本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，幂函数的图象和性质，难度中档．