Question

20．抛物线y=-x²+2x与x轴围成的封闭区域为M，向M内随机投掷一点P（x，y），则P（y＞x）=$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 根据积分的知识可得先求y=-x²+2x与x轴围成的封闭区域为M的面积，再求出S_阴影，最后代入几何概率的计算公式可求．

解答 解：令y=-x²+2x=0，解得x=0或x=2，
∴由抛物线y=-x²+2x与x轴围成的封闭区域S_M=${∫}_{0}^{2}$（-x²+2x）dx=（-$\frac{1}{3}$x³+x²）|${\;}_{0}^{2}$=-$\frac{8}{3}$+4=$\frac{4}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2x}\\{y=x}\end{array}\right.$，解得x=0或x=1，
∴由抛物线y=-x²+2x与y=x围成的封闭区域
S_阴影=${∫}_{0}^{1}$（（-x²+2x-x）dx=${∫}_{0}^{1}$（（-x²+x）dx=（-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²）|${\;}_{0}^{1}$=-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$，
故则P（y＞x）=$\frac{{S}_{阴影}}{{S}_{M}}$=$\frac{\frac{1}{6}}{\frac{4}{3}}$=$\frac{1}{8}$，
故答案为：$\frac{1}{8}$

点评 本题主要考查了利用积分求解曲面的面积，还考查了几何概率的计算公式的应用，属于基础试题．