由于贺先生工作努力.作为奖励.冯老板决定赞助贺先生.对他上次定制的iphone6的屏幕进行加工．Iphone6屏幕如图所示:是一个柱体.底面ABCD中.AD∥BC.AD长度为67毫米.AD与BC的距离为2毫米.曲线AB.CD都是分别以x毫米和2毫米为长半轴和短半轴的椭圆弧(2≤x≤5.当x=2时.该曲线为圆弧)．平面BCEF的加工成本为每平� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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由于贺先生工作努力，作为奖励，冯老板决定赞助贺先生，对他上次定制的iphone6的屏幕进行加工．Iphone6屏幕如图所示：是一个柱体，底面ABCD中，AD∥BC，AD长度为67毫米，AD与BC的距离为2毫米，曲线AB、CD都是分别以x毫米和2毫米为长半轴和短半轴的椭圆弧（2≤x≤5，当x=2时，该曲线为圆弧）．平面BCEF的加工成本为每平方毫米1元，曲面ABF和CDE的加工总费用是2h

元，其中L是曲线AB的弧长，h为柱体的高．求x的值，使得加工成本最低．（椭圆周长近似公式为C=2πb+4（a-b），a＞b＞0）

考点：根据实际问题选择函数类型

专题：应用题,导数的综合应用

分析：由题意求出平面BCEF的面积和曲面ABF和CDE的面积，由面积乘以单价得到加工成本，换元后求出函数的导函数，分类得到使加工成本最低的x的值．

解答： 解：由题意可知，平面BCEF的面积为（67-2x）h，曲面ABF和CDE的面积为

[4π+4（x-2）]h．
设加工成本为y元，
则y=（67-2x）h+

[4π+4（x-2）]h•2h

(4π+4x-8)

=67h-2hx+4（x+π-2）h²•

x+π-2

．
令x+π-2=t，则x=t-π+2．
∵2≤x≤5，
∴π≤t≤3+π．
则y=4h2t

-2ht+2πh-4h，（π≤t≤3+π）．
y′=6h2

-2h，
由y′=6h2

-2h=0，得t=

9h2

．
即函数的极小值点为t=

9h2

．
当

9h2

＜π时，t=π，即x+π-2=π，x=2时加工成本最低．
当

9h2

＞3+π时，t=3+π，即x+π-2=3+π，x=5时加工成本最低．
当π≤

9h2

≤3+π时，t=

9h2

，即x+π-2=

9h2

，x=

9h2

+2-π时加工成本最低．

点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．

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