Question

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知对任意的n∈N⁺，点（n，S_n）均在函数y=b^x+r（b＞0且b≠1，b，r均为常数的图象上．
（Ⅰ）求r的值．
（Ⅱ）当b=2时，记b_n=2（log₂a_n=1）（n∈N⁺），证明：对任意的，不等式成立

b1+1

b1

•

b2+1

b2

•…

bn+1

bn

＞

n+1

．

Answer 1

分析：本题考查的数学归纳法及数列的性质．
（1）由已知中因为对任意的n∈N⁺，点（n，S_n），均在函数y=b^x+r（b＞0且b≠1，b，r均为常数的图象上．根据数列中an与Sn的关系，我们易得到一个关于r的方程，再由数列{a_n}为等比数列，即可得到r的值．
（2）将b=2代入，我们可以得到数列{a_n}的通项公式，再由bn=2（log₂a_n+1）（n∈n），我们可给数列{b_n}的通项公式，进而可将不等式

b1+1

b1

•

b2+1

b2

•…

bn+1

bn

＞

n+1

进行简化，然后利用数学归纳法对其进行证明．

解答：解：（1）因为对任意的n∈N⁺，点（n，S_n），
均在函数y=b^x+r（b＞0且b≠1，b，r均为常数的图象上．
所以得S_n=bⁿ+r，当n=1时，a₁=S₁=b+r，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=bⁿ+r-（b^n-1+r）=bⁿ-b^n-1=（b-1）b^n-1，
又因为{a_n}为等比数列，所以r=-1，公比为b，a_n=（b-1）b^n-1
（2）当b=2时，a_n=（b-1）b^n-1=2^n-1，b_n=2（log₂a_n+1）=2（log₂2^n-1+1）=2n
则

bn+1

bn

=

2n+1

2n

，
所以

b1+1

b1

•

b2+1

b2

…

bn+1

bn

=

3

2

•

5

4

•

7

6

…

2n+1

2n

下面用数学归纳法证明不等式

b1+1

b1

•

b2+1

b2

…

bn+1

bn

=

3

2

•

5

4

•

7

6

…

2n+1

2n

＞

n+1

成立．
当n=1时，左边=

3

2

，右边=

2

，
因为

3

2

＞

2

，所以不等式成立．
假设当n=k时不等式成立，
即

b1+1

b1

•

b2+1

b2

…

bn+1

bn

=

3

2

•

5

4

•

7

6

…

2k+1

2k

＞

k+1

成立
则当n=k+1时，
左边=

b1+1

b1

•

b2+1

b2

…

bk+1

bk

•

bk+1+1

bk+1

=

3

2

•

5

4

•

7

6

…

2k+1

2k

•

2k+3

2k+2

＞

k+1

•

2k+3

2k+2

=

(2k+3)2 4(k+1)

=

4(k+1)2+4(k+1)+1 4(k+1)

=

(k+1)+1+ 1 4(k+1)

＞

(k+1)+1

所以当n=k+1时，不等式也成立．
由①、②可得不等式恒成立．

点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．