【题目】已知圆C: ,直线l过点
.
(1)若直线l与圆心C的距离为1,求直线l的方程;
(2)若直线l与圆C交于M,N两点,且,求以MN为直径的圆的方程;
(3)设直线与圆C交于A,B两点,是否存在实数a,使得直线l垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)或
.(2)
(3)不存在,见解析
【解析】
(1)分类讨论,斜率存在时根据圆心到直线的距离为1列出方程即可求得斜率,斜率不存在时验证是否满足条件即可;(2)由弦心距推出P为弦MN的中点即可求得圆的方程;(3) 由直线与圆相交推出弦心距小于圆的半径求出a的范围,假设存在a使得l垂直平分弦AB,则
,即可求出a.
解:(1)当直线l的斜率存在时,设斜率为k,则l的方程为.
又圆C的圆心为,半径
,由
,解得
所以直线l的方程为,即
.
当l的斜率不存在时,l的方程为,经验证
也满足条件.
所以直线l的方程为或
.
(2)由于,而弦心距
,
所以,所以P为弦MN的中点,
故以MN为直径的圆Q的方程为.
(3)直线与圆C交于A,B两点,
则弦心距小于圆的半径,即,化简得
.
设符合条件的实数a存在,由于l垂直平分弦AB,故直线l过圆心.
所以l的斜率,而
,所以
.
由于,故不存在实数a,使得过点
的直线l垂直平分弦AB.
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【题目】某企业节能降耗技术改造后,在生产某产品过程中的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据如表所示:
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
若根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为0.7x+a,若生产7吨产品,预计相应的生产能耗为( )吨.
A.5.25B.5.15C.5.5D.9.5
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【题目】如图,某景区内有一半圆形花圃,其直径为
,
是圆心,且
.在
上有一座观赏亭
,其中
.计划在
上再建一座观赏亭
,记
.
(1)当时,求
的大小;
(2)当越大,游客在观赏亭
处的观赏效果越佳,求游客在观赏亭
处的观赏效果最佳时,角
的正弦值.
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【题目】已知椭圆:
的左、右焦点分别为
,
,左顶点为
,离心率为
,点
是椭圆上的动点,
的面积的最大值为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设经过点的直线
与椭圆
相交于不同的两点
,
,线段
的中垂线为
.若直线
与直线
相交于点
,与直线
相交于点
,求
的最小值.
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【题目】已知圆M: ,直线l:
,下面五个命题,其中正确的是( )
A.对任意实数k与θ,直线l和圆M有公共点;
B.对任意实数k与θ,直线l与圆M都相离;
C.存在实数k与θ,直线l和圆M相离;
D.对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l与圆M相切:
E.对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l与圆M相切;
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【题目】5G网络是第五代移动通信网络,其峰值理论传输速度可达每8秒1GB,比4G网络的传输速度快数百倍.举例来说,一部1G的电影可在8秒之内下载完成.随着5G技术的诞生,用智能终端分享3D电影、游戏以及超高画质(UHD)节目的时代正向我们走来.某手机网络研发公司成立一个专业技术研发团队解决各种技术问题,其中有数学专业毕业,物理专业毕业,其它专业毕业的各类研发人员共计1200人.现在公司为提高研发水平,采用分层抽样抽取400人按分数对工作成绩进行考核,并整理得如上频率分布直方图(每组的频率视为概率).
(1)从总体的1200名学生中随机抽取1人,估计其分数小于50的概率;
(2)研发公司决定对达到某分数以上的研发人员进行奖励,要求奖励研发人员的人数达到30%,请你估计这个分数的值;
(3)已知样本中有三分之二的数学专业毕业的研发人员分数不低于70分,样本中不低于70分的数学专业毕业的研发人员人数与物理及其它专业毕业的研发人员的人数和相等,估计总体中数学专业毕业的研发人员的人数.
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【题目】对于函数,若存在定义域中的实数
,
满足
且
,则称函数
为“
类” 函数.
(1)试判断,
是否是“
类” 函数,并说明理由;
(2)若函数,
,
为“
类” 函数,求
的最小值.
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【题目】如图,在四棱锥中,
⊥底面
,
⊥
,
∥
,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.
(1)证明:BE⊥DC;
(2)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F-AB-P的余弦值.
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