Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA=AD=2．四边形ABCD满足BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1．E为侧棱PB的中点，F为侧棱PC上的任意一点．
（1）求证：平面AFD⊥平面PAB；
（2）是否存在点F，使得直线AF与平面PCD垂直？若存在，写出证明过程并求出线段PF的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由面面垂直的性质，证出PA⊥平面ABCD，从而得出PA⊥AD．结合AB⊥CD且PA∩AB=A，得到AD⊥平面PAB，再由面面垂直的判定定理证出平面AFFD⊥平面PAB；
（2）Rt△PAC中，过点A作AF⊥PC于点F，由题意在四边形ABCD中证出CD⊥AC，由PA⊥平面ABCD证出PA⊥CD，从而CD⊥平面PAC，得到CD⊥AF，由CD∩PC=C，证出AF⊥平面PCD．Rt△PAC中利用题中数据求出PC长，再用直角三角形的性质算出PF长，可得存在点F满足PF的长为

2 6

3

时，直线AF与平面PCD垂直．

解答：解：（1）∵平面ABCD⊥平面PAC，平面ABCD∩平面PAC=AC，
且PA?平面PAC，PA⊥AC．
∴PA⊥平面ABCD，
又∵AD?平面ABCD，∴PA⊥AD．
又∵AB⊥CD，PA∩AB=A，∴AD⊥平面PAB，
而AD?平面AFD，∴平面AFD⊥平面PAB．
（2）存在点F，使得直线AF与平面PCD垂直．证明如下：
在Rt△PAC中，过点A作AF⊥PC于点F，
由已知AB⊥AD，BC∥AD，AB=BC=1，AD=2．
可得CD⊥AC，
由（1）知PA⊥平面ABCD，可得PA⊥CD
又∵PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC．
∵AF?平面PAC，∴CD⊥AF．
又∵CD∩PC=C，∴AF⊥平面PCD
∵在Rt△PAC中，PA=2，AC=

2

，∠PAC=90°，
∴PC=

PA2+AC2

=

6

，PF=

PA2

PC

=

2 6

3

因此，存在点F，当线段PF的长为

2 6

3

时，直线AF与平面PCD垂直．

点评：本题在四棱锥中证明面面垂直，并探索线面垂直的存在性．着重考查了空间线面垂直、面面垂直的判定与性质，考查了直角三角形中有关计算的知识，属于中档题．