Question

18．一个正三棱锥的三条侧棱长均为1，且两两垂直，将这个正三棱锥绕着它的高线旋转60°，则旋转后的三棱锥与原三棱锥公共部分的体积等于$\frac{\sqrt{2}}{18}$．

Answer 1

分析 如图所示，PO为正三棱锥的高．旋转后的三棱锥与原三棱锥公共部分为正六棱锥P-DEFGHM．其中AO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，PO=$\sqrt{P{A}^{2}-A{O}^{2}}$，DE=$\frac{1}{3}$．即可得出．

解答 解：如图所示，PO为正三棱锥的高．
旋转后的三棱锥与原三棱锥公共部分为正六棱锥P-DEFGHM．
$AO=\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
PO=$\sqrt{P{A}^{2}-A{O}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
DE=$\frac{1}{3}$．
∴要求的体积V=$\frac{1}{3}×PO×{S}_{正六边形DEFGHM}$
=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}$×$6×\frac{\sqrt{3}}{4}×（\frac{1}{3}）^{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{18}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{18}$．

点评 本题考查了棱锥的体积计算公式、勾股定理、等边三角形的面积计算公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．