Question

13．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=BC=2，AA₁=1，E为BB₁的中点，求证：平面AEC₁⊥平面AA₁C₁C．

Answer 1

分析 取AC₁的中点F，连接EF，A₁F，A₁E，运用直角三角形的性质和勾股定理，由线面垂直的判定，可得EF⊥平面AA₁C₁C，再由面面垂直的判定定理，即可得证．

解答 证明：取AC₁的中点F，连接EF，A₁F，A₁E，
在直角三角形ABE中，AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{4+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
在直角三角形B₁C₁E中，C₁E=$\sqrt{{B}_{1}{E}^{2}+{B}_{1}{{C}_{1}}^{2}}$
=$\sqrt{4+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
即有△ACE₁为等腰三角形，且FE⊥AC₁，
FE=$\sqrt{A{E}^{2}-\frac{1}{4}A{{C}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{4+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}（4+4+1）}$=$\sqrt{2}$，
在直角三角形AA₁C₁中，A₁F=$\frac{1}{2}$AC₁=$\frac{3}{2}$，
又A₁E=$\sqrt{4+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
由A₁E²=FE²+A₁F²，可得EF⊥A₁F，
又FE⊥AC₁，即有EF⊥平面AA₁C₁C．
由于EF?平面AEC₁，
则平面AEC₁⊥平面AA₁C₁C．

点评 本题考查面面垂直的判定定理的运用，考查空间直线和平面的位置关系，考查运算和推理能力，属于中档题．