Question

3．已知函数f（x）=x⁴-4x³+tx²+6（t∈R）．①若t=4，求f（x）的单调区间；②若f（x）在x=-1处取得极值，求f（x）在区间[-2，1]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 ①当t=4时，f′（x）=4x³-12x²+8x=4x（x-1）（x-2），分别解出：f′（x）＞0，f′（x）＜0，解出即可．
②f′（x）=4x³-12x²+2tx=4x（x²-3x+$\frac{t}{2}$），由已知f（-1）=0，t=-8，此时f′（x）=4x（x+1）（x-4），分别解出：f′（x）＜0，f′（x）＞0．可得单调性，进而得出极值与最值．

解答 解：①当t=4时，f′（x）=4x³-12x²+8x=4x（x-1）（x-2），
由f′（x）＞0解得x∈（0，1）∪（2，+∞），
∴f（x）的增区间是（0，1）和（2，+∞）；
由f′（x）＜0，解得x∈（-∞，0）∪（1，2），
∴f（x）的减区间是（-∞，0）和（1，2）．
②f′（x）=4x³-12x²+2tx=4x（x²-3x+$\frac{t}{2}$），由已知f（-1）=0，t=-8，
此时f′（x）=4x（x+1）（x-4），
则当x∈（-2，-1）时，f′（x）＜0；x∈（-1，0）时，f′（x）＞0；x∈（0，1）时，f′（x）＜0．
∴f（x）在x=-1处取得极小值3，在x=0处取得极大值6，
而f（-2）=22，f（1）=-5，
则f（x）在[-2，1]上的最大值是22，最小值时-5．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．