Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为C₁D₁，B₁C₁的中点，AC∩BD=P，A₁C₁∩EF=Q，求证：
（1）D、B、F、E四点共面；
（2）若A₁C交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线．

Answer 1

考点：空间中直线与平面之间的位置关系

专题：

分析：（1）由已知得EF∥D₁B₁，BB₁∥DD₁、BB₁=DD₁，从而BB₁D₁D是平行四边形，从而EF∥DB，由此能证明D、B、F、E共面．
（2）由已知得EF是平面AA₁C₁C和平面DBFE的交线，R是EF是平面AA₁C₁C和平面DBFE的一个公共点，由此能证明P、Q、R三点共线．

解答： 证明：（1）∵E、F分别为C₁D₁，B₁C₁的中点，
∴EF是△B₁C₁D₁的中位线，∴EF∥D₁B₁，
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，∴BB₁∥DD₁、BB₁=DD₁，
∴BB₁D₁D是平行四边形，
∴DB∥DB₁，∴EF∥D₁B₁，
∴EF∥DB，∴D、B、F、E共面．
（2）∵AC∩BD=P，A₁C₁∩EF=Q，
∴EF是平面AA₁C₁C和平面DBFE的交线，
∵A₁C交平面DBFE于R点，
∴R是EF是平面AA₁C₁C和平面DBFE的一个公共点，
∵两相交平面的所有公共点都在这两平面的交线上，
∴P、Q、R三点共线．

点评：本题考查四点共面的证明，考查三点共线的证明，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．