Question

16．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若cosB+cosC=$\frac{b+c}{a}$，则这个三角形的形状是（　　）

• A． 锐角三角形
• B． 钝角三角形
• C． 直角三角形
• D． 不确定

Answer 1

分析 把正弦定理代入已知的等式，并利用和差化积公式求得cos$\frac{B+C}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，进而求出$\frac{B+C}{2}$ 的大小，
从而得到A=$\frac{π}{2}$，故得答案．

解答 解：∵cosB+cosC=$\frac{b+c}{a}$，∴b+c=a（cosB+cosC），
由正弦定理得 sinB+sinC=sinA（cosB+cosC），
∴2sin$\frac{B+C}{2}$cos$\frac{B-C}{2}$=2sin$\frac{A}{2}$cos$\frac{A}{2}$（2cos$\frac{B+C}{2}$cos$\frac{B-C}{2}$ ）．由于cos$\frac{B-C}{2}$≠0，
∴sin$\frac{B+C}{2}$=sin$\frac{B+C}{2}$cos$\frac{B+C}{2}$•2cos$\frac{B+C}{2}$，∴2cos² $\frac{B+C}{2}$=1，
∴cos$\frac{B+C}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$\frac{B+C}{2}$=$\frac{π}{4}$，B+C=$\frac{π}{2}$，∴A=$\frac{π}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查正弦定理，和差化积公式的应用，根据三角函数值求角的大小，求出cos$\frac{B+C}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．是解题的关键．