精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知双曲线过点P(-3
2
,4)
,它的渐近线方程为y=±
4
3
x

(1)求双曲线的标准方程;
(2)设F1和F2是该双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上,且|PF1|•|PF2|=55,求∠F1PF2的余弦值.
分析:(1)根据双曲线渐近线方程为y=±
4
3
x
,设双曲线方程为
x2
9
-
y2
16
=m
(m≠0),代入点P的坐标算出m=1,即可得到双曲线的标准方程;
(2)由双曲线的标准方程,算出a=3、b=4且c=5,根据双曲线的定义算出||PF1|-|PF2||=2a=6,再由△F1PF2中|F1F2|=10且|PF1|•|PF2|=55,利用余弦定理加以计算即可得出∠F1PF2的余弦值.
解答:解:(1)∵双曲线的渐近线方程为y=±
4
3
x

∴设所求双曲线的方程为(y+
4
3
x
)(y-
4
3
x
)=m(m≠0),即
x2
9
-
y2
16
=m

又∵P(-3
2
,4)
在该双曲线上,
∴将P的坐标代入双曲线方程,得
(-3
2
)
2
9
-
42
16
=m
,解得m=1,
因此,所求双曲线方程为
x2
9
-
y2
16
=1

(2)∵双曲线方程为
x2
9
-
y2
16
=1
,∴a=3、b=4,可得c=
a2+b2
=5.
根据双曲线定义,可得||PF1|-|PF2||=2a=6,
∵|F1F2|=2c=10,|PF1|•|PF2|=55,
∴在△F1PF2中,根据余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|cos∠F1PF2
即|F1F2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|•|PF2|-2|PF1|•|PF2|cos∠F1PF2
可得100=36+2×55-2×55cos∠F1PF2,即110cos∠F1PF2=46,
∴cos∠F1PF2=
46
110
=
23
55
点评:本题给出双曲线的渐近线,在双曲线经过定点P的情况下求它的标准方程,并依此求∠F1PF2的余弦值.着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、利用余弦定理解三角形等知识,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知双曲线过点P(-3
2
,4)
,它的渐近线方程为y=±
4
3
x

(1)求双曲线的标准方程;
(2)设F1和F2是这双曲线的左、右焦点,点P在这双曲线上,且|PF1|•|PF2|=32,求∠F1PF2的大小.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

根据下列条件求椭圆或双曲线的标准方程.
(Ⅰ)已知椭圆的长轴长为6,一个焦点为(2,0),求该椭圆的标准方程.
(Ⅱ)已知双曲线过点P(
5
1
2
)
,渐近线方程为x±2y=0,且焦点在x轴上,求该双曲线的标准方程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知双曲线过点P,它的渐近线方程为

   (1)求双曲线的标准方程;

   (2)设F1和F2是这双曲线的左、右焦点,点P在这双曲线上,且|PF1|·|PF2|=32,求

        ∠F1PF2的大小

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2010-2011年山西省孝义市高二第二次月考考试数学理卷 题型:解答题

(本小题满分12分)

已知双曲线过点P,它的渐近线方程为

(1)求双曲线的标准方程;

(2)设F1和F2是这双曲线的左、右焦点,点P在这双曲线上,且|PF1|·|PF2|=32,求∠F1PF2的大小.

 

查看答案和解析>>

同步练习册答案