Question

7．如图，圆O的直径AB=10，弦DE⊥AB于点H，BH=2．
（Ⅰ）求DE的长；
（Ⅱ）延长ED到P，过P作圆O的切线，切点为C，若PC=2$\sqrt{5}$，求PD的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知中弦DE⊥AB于点H，AB为圆O的直径，由垂径定理，我们易得DH=HE，进而由相交弦定理，得DH²=AH•BH，由AB=10，HB=2，代入即可求出DH，进而得到DE的长；
（Ⅱ）由于PC切圆O于点C，由切割线定理，我们易得PC²=PD•PE，结合（Ⅰ）的结论和PC=2$\sqrt{5}$，代入即可求出PD的长．

解答 解：（Ⅰ）∵AB为圆O的直径，AB⊥DE，
∴DH=HE，
∴DH²=AH•BH=（10-2）×2=16，
∴DH=4，
∴DE=2DH=8；
（Ⅱ）∵PC切圆O于点C，
∴PC²=PD•PE，
即（2$\sqrt{5}$）²=PD•（PD+8），
∴PD=2．

点评 本题考查的知识点是垂径定理，相交弦定理及切割线定理，分析已知线段与未知线段之间的位置关系，进而选择恰当的定义进行求解是解答此类问题的关键．