Question

△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

2

sin2

C

2

+cos

C

2

=

2

（1）求角C的大小；
（2）若a，b，c成等比数列，求sinA的值．

Answer 1

（1）由

2

sin2

C

2

+cos

C

2

=

2

，
得

2

(1-cos2

C

2

)+cos

C

2

=

2

，
整理得cos

C

2

(

2

cos

C

2

-1)=0，
因为在△ABC中，0＜C＜π，所以0＜

C

2

＜

π

2

，
所以cos

C

2

=

2

2

（舍去cos

C

2

=0），
从而

C

2

=

π

4

，即C=

π

2

；
（2）因为a，b，c成等比数列，所以b²=ac，
由（1）知，△ABC是以角C为直角的直角三角形，
所以c²=a²+b²，将b²=ac代入
整理得a²+ac-c²=0，
上式两边同除以c²，得

a2

c2

+

a

c

-1=0，
因为sinA=

a

c

，所以sin²A+sinA-1=0，
注意到0＜A＜

π

2

解得sinA=

5 -1

2

（舍去sinA=

-1- 5

2

）．