Question

在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=

π

3

．
（Ⅰ）若△ABC的面积等于

3

，求a，b；
（Ⅱ）若sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先通过余弦定理求出a，b的关系式；再通过正弦定理及三角形的面积求出a，b的另一关系式，最后联立方程求出a，b的值．
（Ⅱ）通过C=π-（A+B）及二倍角公式及sinC+sin（B-A）=2sin2A，求出∴sinBcosA=2sinAcosA．当cosA=0时求出a，b的值进而通过

1

2

absinC求出三角形的面积；当cosA≠0时，由正弦定理得b=2a，联立方程解得a，b的值进而通过

1

2

absinC求出三角形的面积．

解答：解：（Ⅰ）∵c=2，C=

π

3

，c²=a²+b²-2abcosC
∴a²+b²-ab=4，
又∵△ABC的面积等于

3

，
∴

1

2

absinC=

3

，
∴ab=4
联立方程组

a2+b2-ab=4 ab=4

，解得a=2，b=2
（Ⅱ）∵sinC+sin（B-A）=sin（B+A）+sin（B-A）=2sin2A=4sinAcosA，
∴sinBcosA=2sinAcosA
当cosA=0时，A=

π

2

，B=

π

6

，a=

4 3

3

，b=

2 3

3

，求得此时S=

2 3

3

当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，
联立方程组

a2+b2-ab=4 b=2a

解得a=

2 3

3

，b=

4 3

3

．
所以△ABC的面积S=

1

2

absinC=

2 3

3

综上知△ABC的面积S=

1

2

absinC=

2 3

3

点评：本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．