Question

10．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为CD和C₁C的中点，则直线AE与D₁F所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{3}{7}$

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AE与D₁F所成角的余弦值．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为2，
则A（2，0，0），E（0，1，0），D₁（0，0，2），F（0，2，1），
$\overrightarrow{AE}$=（-2，1，0），$\overrightarrow{{D}_{1}F}$=（0，2，-1），
设直线AE与D₁F所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{{D}_{1}F}|}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{{D}_{1}F}|}$=$\frac{2}{\sqrt{5}•\sqrt{5}}$=$\frac{2}{5}$．
∴直线AE与D₁F所成角的余弦值为$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查两异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．