Question

11．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为B的直线与抛物线相交于M、N两点，且|MN|=8．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，点P为直线l上的任意一点，求$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：求得MN的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及焦点弦公式，即可求得p的值，求得抛物线方程；
（2）设直线l的方程，代入抛物线方程，由△=0，解得b的值，根据向量数量积的坐标运算及二次函数的性质，即可求得$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$的最小值．

解答 解：（1）∵C：y²=2px（p＞0）的焦点坐标为$F（\frac{p}{2}，0）$，直线MN的方程为$y=x-\frac{p}{2}$，设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=2px\\ y=x-\frac{p}{2}\end{array}\right.$，可得${x^2}-3px+\frac{p^2}{4}=0$，
由于x₁+x₂=3p、${x_1}{x_2}=\frac{p^2}{4}$，
所以|MN|=x₁+x₂+p=4p=8，解得p=2．
所以，抛物线的方程为y²=4x．
（2）设直线l方程为y=x+b，由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=x+b\end{array}\right.$，可得，x²+（2b-4）x+b²=0.$\overrightarrow{PM}$=
由于l为抛物线C的切线，所以△=（2b-4）²-4b²=0，
解得b=1，故l：y=x+1
设P（m，m+1），由（1）可知，直线MN：y=x-1，x₁+x₂=6，x₁x₂=1，
∴（y₁y₂）²=16x₁x₂，则y₁y₂=-4，y₁+y₂=4，
则$\overrightarrow{PM}$=（x₁-m，y₁-（m+1）），$\overrightarrow{PN}$=（x₂-m，y₂-（m+1）），
∴则$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=（x₁-m）（x₂-m）+[y₁-（m+1）][y₂-（m+1）]，
=x₁x₂-m（x₁+x₂）+m²+y₁y₂-（m+1）（y₁+y₂）+（m+1）²，
=1-6m+m²-4-4（m+1）+（m+1）²，
=2（m²-4m-3）=2[（m-2）²-7]≥-14，
所以，当且仅当m=2时，即点P的坐标为（2，3）时，$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$的最小值为-14．
$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$的最小值-14．

点评 本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，抛物线的焦点弦公式，向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．