Question

3．已知数列{a_n}的首项a₁=2，前n项和为S_n，$3{S_n}-4，{a_n}，2-\frac{{3{S_{n-1}}}}{2}，（n≥2）$总是成等差数列．
（1）证明数列{a_n}为等比数列；
（2）求满足不等式${a_n}＜{（-4）^{n-1}}$的正整数n的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据题意可得4a_n=6S_n-4-3S_n-1，根据数列的递推公式可得数列的通项公式，即可证明，
（2）分n为奇数和n为偶数两种情况，即可得出．

解答 解：（1）∵$2{a_n}=3{S_n}-4+2-\frac{{3{S_{n-1}}}}{2}$，整理得：4a_n=6S_n-4-3S_n-1，（n≥2），4a_n-1=6S_n-1-4-3S_n-2，（n≥3），
相减得：4a_n-4a_n-1=6a_n-3a_n-1，（n≥3），即${a_n}=-\frac{1}{2}{a_{n-1}}$，（n≥3），
又∵$2{a_2}=3{S_2}-4+2-\frac{{3{S_1}}}{2}$，得a₂=-1，即${a_2}=-\frac{1}{2}{a_1}$，
综上，数列{a_n}是以$-\frac{1}{2}$为公比的等比数列　　　　　　　
（2）${a_n}=2×{（-\frac{1}{2}）^{n-1}}＜{（-4）^{n-1}}?{（-1）^{n-1}}{2^{2-n}}＜{（-1）^{n-1}}{2^{2n-2}}$，
当n为奇数时，${2^{2-n}}＜{2^{2n-2}}?2-n＜2n-2?n＞\frac{4}{3}$，
当n为偶数时，${2^{2-n}}＞{2^{2n-2}}?2-n＞2n-2?n＜\frac{4}{3}$，此时无解
综上得正整数n的最小值为3．

点评 本题考查了数列的递推公式和等差数列的性质以及数列和不等式的关系，考查了学生的运算能力和分类讨论的能力，属于中档题