Question

18．（1）已知a＞0，b＞0，$\frac{1}{b}$-$\frac{1}{a}$＞1．求证：$\sqrt{1+a}$＞$\frac{1}{\sqrt{1-b}}$．
（2）用数学归纳法证明$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{n+n}$＞$\frac{11}{24}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）用分析法即可证明，
（2）直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，（1）验证n=1时不等式成立；（2）假设当n=k（k≥1）时成立，利用放缩法证明n=k+1时，不等式也成立．

解答 （1）证明　要证$\sqrt{1+a}$＞$\frac{1}{\sqrt{1-b}}$成立，只需证1+a＞$\frac{1}{1-b}$，
只需证（1+a）（1-b）＞1（1-b＞0），即1-b+a-ab＞1，
∴a-b＞ab，只需证：$\frac{a-b}{ab}$＞1，即$\frac{1}{b}$-$\frac{1}{a}$＞1．
由已知a＞0，$\frac{1}{b}$-$\frac{1}{a}$＞1成立，∴$\sqrt{1+a}$＞$\frac{1}{\sqrt{1-b}}$成立．
（2）证明　①当n=1时，左边=$\frac{1}{2}$＞$\frac{11}{24}$，不等式成立．
②假设当n=k（k∈N^*，k≥1）时，不等式成立，
即$\frac{1}{k+1}$+$\frac{1}{k+2}$+$\frac{1}{k+3}$+…+$\frac{1}{k+k}$＞$\frac{11}{24}$，
则当n=k+1时，$\frac{1}{k+2}$+$\frac{1}{k+3}$+…+$\frac{1}{2k}$+$\frac{1}{2k+1}$+$\frac{1}{2k+2}$=$\frac{1}{k+1}$+$\frac{1}{k+2}$+$\frac{1}{k+3}$+…+$\frac{1}{2k}$+$\frac{1}{2k+1}$+$\frac{1}{2k+2}$-$\frac{1}{k+1}$
＞$\frac{11}{24}$+$\frac{1}{2k+1}$+$\frac{1}{2k+2}$-$\frac{1}{k+1}$，
∵$\frac{1}{2k+1}$+$\frac{1}{2k+2}$-$\frac{1}{k+1}$=$\frac{2（k+1）+（2k+1）-2（2k+1）}{2（k+1）（2k+1）}$=$\frac{1}{2（k+1）（2k+1）}$＞0，
∴$\frac{1}{k+1}$+$\frac{1}{k+2}$+$\frac{1}{k+3}$+…+$\frac{1}{2k}$+$\frac{1}{2k+1}$+$\frac{1}{2k+2}$-$\frac{1}{k+1}$＞$\frac{11}{24}$+$\frac{1}{2k+1}$+$\frac{1}{2k+2}$-$\frac{1}{k+1}$＞$\frac{11}{24}$，
∴当n=k+1时，不等式成立．
由①②知对于任意正整数n，不等式成立．

点评 本题考查分析法数学归纳法的证明步骤，注意不等式的证明方法，放缩法的应用，考查逻辑推理能力．