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    9．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-t\\ y=\sqrt{3}t\end{array}\right.$（t为参数，-1≤t≤1），当t=1时，曲线C1上的点为A，当t=-1时，曲线C1上的点为B，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C2的极坐标方程$ρ=\frac{6}{{\sqrt{4+5{{sin}^2}θ}}}$
    （Ⅰ） 求线段AB的极坐标方程；C2的参数方程
    （Ⅱ） 设M是曲线C2上的动点，求|MA|2+|MB|2最大值及取最大值时点M的直角坐标．

    分析 （Ⅰ）求出A$（-1，\sqrt{3}），B（1，-\sqrt{3}）$，从而求出线人段AB的直角坐标方程，进而能求出线段AB的极坐标方程；曲线C2的极坐标方程转化为4ρ2+5（ρsinθ）2=36，由此能求出曲线C2的直角坐标方程，从而能求出曲线C2的参数方程．
    （Ⅱ）设曲线C2上的动点M（3cosα，2sinα），从而|MA|2+|MB|2=（3cosα+1）2+（2sinα-$\sqrt{3}$）2+（3 cosα-1）2+（2sinα+$\sqrt{3}$）2=10cos2α+16≤26，由此能求出|MA|2+|MB|2的最大值及对应的M点坐标．

    解答 解：（Ⅰ）∵曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-t\\ y=\sqrt{3}t\end{array}\right.$（t为参数，-1≤t≤1），
    当t=1时，曲线C1上的点为A，当t=-1时，曲线C1上的点为B，
    ∴A$（-1，\sqrt{3}），B（1，-\sqrt{3}）$，
    ∴线段AB的直角坐标方程为：$\frac{y+\sqrt{3}}{x-1}$=$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{3}}{-1-1}$=-$\sqrt{3}$，（-1≤x≤1），
    整理，得：$\sqrt{3}x+y=0$，（-1≤x≤1），
    ∴线段AB的极坐标方程为$\sqrt{3}ρcosθ$+ρsinθ=0，即2sin（$θ+\frac{π}{3}$）=0，（θ∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]）．
    ∵曲线C2的极坐标方程$ρ=\frac{6}{{\sqrt{4+5{{sin}^2}θ}}}$，化为ρ2（4+5sin2θ）=36，
    ∴4ρ2+5（ρsinθ）2=36，
    ∴曲线C2的直角坐标方程为4（x2+y2）+5y2=36，化为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
    ∴曲线C2的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$，（α为参数）．
    （Ⅱ）设曲线C2上的动点M（3cosα，2sinα），
    ∵A（-1，$\sqrt{3}$），B（1，-$\sqrt{3}$），
    |MA|2+|MB|2=（3cosα+1）2+（2sinα-$\sqrt{3}$）2+（3 cosα-1）2+（2sinα+$\sqrt{3}$）2
    =18cos2α+8sin2α+8=10cos2α+16≤26，当cosα=±1时，取得最大值26．
    ∴|MA|2+|MB|2的最大值是26，此时M（3，0），（-3，0）．

    点评 本题考查线段的极坐标方程、曲线的参数方程求法，考查代数式的最大值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

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