Question

4．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+1，x＜1}\\{{2}^{x}-2，x≥1}\end{array}\right.$，g（x）=$\frac{1}{x}$，若对任意x∈[m，+∞）（m＞0），总存在两个x₀∈[0，2]，使得f（x₀）=g（x），则实数m的取值范围是（　　）

• A． [1，+∞）
• B． （0，1]
• C． [$\frac{1}{2}$，+∞）
• D． （0，$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 由分段函数解析式可得函数f（x）在区间[0，2]上满足一个函数值对应两个自变量的函数值的集合A，求出函数g（x）在[m，+∞）（m＞0）上的值域B，由B是A的子集求解．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+1，x＜1}\\{{2}^{x}-2，x≥1}\end{array}\right.$，
当x∈[0，1）时，f（x）∈（0，1]，当x∈[1，2]时，f（x）∈[0，2]．
∴一个函数值对应两个自变量的函数值的范围为（0，1]．
g（x）=$\frac{1}{x}$在[m，+∞）（m＞0）上为减函数，最大值为$\frac{1}{m}$．
∴g（x）的值域为[0，$\frac{1}{m}$]．
要使对任意x∈[m，+∞）（m＞0），总存在两个x₀∈[0，2]，使得f（x₀）=g（x），
则$\frac{1}{m}$≤1，即m≥1．
∴实数m的取值范围是[1，+∞）．
故选：A．

点评 本题考查函数的最值及其几何意义，关键是对题意的理解，是中档题．