Question

已知椭圆

x2

8

+

y2

4

=1，过点P（1，1）作直线l与椭圆交于M、N两点．
（1）若点P平分线段MN，试求直线l的方程；
（5）设与满足（1）中条件的直线l平行的直线与椭圆交于A、B两点，AP与椭圆交于点C，BP与椭圆交于点D，求证：CD∥AB．

Answer 1

分析：（1）设M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），则有x_M+x_N=2，y_M+y_N=2，利用点差法，可得

yM-yN

xM-xN

=-

1

2

，从而可求直线l的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），且

AP

=λ1

PC

，

BP

=λ2

PD

，可得x3=

1+λ1-x1

λ1

，y3=

1+λ1-y1

λ1

，将点A、C的坐标分别代入椭圆方程，化简可得

1+λ1-2x1

8

+

1+λ1-2y1

4

=λ1-1，同理有

1+λ2-2x2

8

+

1+λ2-2y2

4

=λ2-1，由此可得λ₁=λ₂，故可证得结论．

解答：（1）解：设M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），则有x_M+x_N=2，y_M+y_N=2.

x 2 M

8

+

y 2 M

4

=1①

x 2 N

8

+

y 2 N

4

=1②
①-②化简可得

(xM+xN)(xM-xN)

8

+

(yM+yN)(yM-yN)

4

=0
∴

yM-yN

xM-xN

=-

1

2

．
故直线l的方程为y-1=-

1

2

(x-1)，即x+2y-3=0．（5分）
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），且

AP

=λ1

PC

，

BP

=λ2

PD

∴1-x₁=λ₁（x₃-1），1-y₁=λ₁（y₃-1）
∴x3=

1+λ1-x1

λ1

，y3=

1+λ1-y1

λ1

将点A、C的坐标分别代入椭圆方程：

x 2 1

8

+

y 2 1

4

=1①，

(1+λ1-x1)2

8 λ 2 1

+

(1+λ1-y1)2

4 λ 2 1

=1②
②×λ12-①，并约去1+λ₁得

1+λ1-2x1

8

+

1+λ1-2y1

4

=λ1-1③
同理有

1+λ2-2x2

8

+

1+λ2-2y2

4

=λ2-1④
④-③可得

λ2-λ1+2(x1-x2)

8

+

λ2-λ1+2(y1-y2)

4

=λ₂-λ₁
∵kAB=-

1

2

，∴

2(x1-x2)

8

+

2(y1-y2)

4

=0
∴

λ2-λ1

8

+

λ2-λ1

4

=λ2-λ1
即

5

8

(λ2-λ1)=0，即λ₁=λ₂，
所以CD∥AB．（12分）

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，解题的关键是设点，利用点差法解题．