Question

10．设函数f（x）在R上是奇函数，当x＞0时，f（x）=x（2-x）．
（1）求f（0）的值；
（2）求当x＜0时，f（x）的表达式；
（3）写出f（x）的表达式；
（4）作出f（x）的图象；
（5）指出函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）由奇函数的定义知，计算f（-1）=-f（1）；
（2）由x＜0得-x＞0，计算f（-x），再由奇函数f（-x）=-f（x），得f（x）即x＜0时f（x）；
（3）由（1）（2），可得f（x）的表达式；
（4）根据（3）作出f（x）的图象；
（5）由图象指出函数f（x）的单调性．

解答 解：（1）∵f（x）是R上的奇函数，∴f（-0）=-f（0），
∴f（0）=0；
（2）当x＜0时，有-x＞0，∴f（-x）=（-x）（2+x）=-x（2+x），
又∵f（-x）=-f（x），∴f（x）=x（2+x），即x＜0，f（x）=x（2+x）；
（3）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（2+x），x≤0}\\{x（2-x），x＞0}\end{array}\right.$；
（4）图象如图所示；

（5）函数的单调增区间是（-1，1），单调减区间是（-∞，-1），（1，+∞）．

点评 本题考查了函数的奇偶性、单调性与函数的解析式，考查函数的图象，属于中档题．