Question

1．下列四个命题中正确的是②③
①sin²x+$\frac{4}{si{n}^{2}x}$的最小值是4
②若|x-2|＜ε，|y-2|＜ε，则|x-y|＜2ε
③若函数f（x）=$\sqrt{{3}^{{x}^{2}-2ax-a}-1}$的定义域是R，则a的取值范围是[-1，0]
④过直线y=x上的一点做圆（x-5）²+（y-1）²=3的两条切线l₁，l₂，当直线l₁，l₂关于y=x对称时，他们之间的夹角为90°．

Answer 1

分析 换元后利用函数的单调性求出值域判断①；利用绝对值的不等式判断②；由函数的定义域为实数集求出a的范围判断③；数形结合求解得到l₁，l₂的夹角小于90°说明④错误．

解答 解：①令t=sin²x∈（0，1]，则sin²x+$\frac{4}{si{n}^{2}x}$=$t+\frac{4}{t}$∈[5，+∞），①错误；
②由|x-2|＜ε，|y-2|＜ε，得|x-y|=|（x-2）-（y-2）|＜|x-2|+|y-2|=2ε，②正确；
③由函数f（x）=$\sqrt{{3}^{{x}^{2}-2ax-a}-1}$的定义域是R，可知${3}^{{x}^{2}-2ax-a}-1≥0$对任意实数x都成立，
即${3}^{{x}^{2}-2ax-a}≥1={3}^{0}$，∴x²-2ax-a≥0对任意实数x恒成立，则△=（-2a）²+4a≤0，即a的取值范围是[-1，0]，③正确；
④如图，过直线y=x上的一点做圆（x-5）²+（y-1）²=3的两条切线l₁，l₂，当直线l₁，l₂关于y=x对称时，
圆心M（5，1）到直线x-y=0的距离为MP=$\frac{|5-1|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$，半径MA=$\sqrt{3}$，
∴$sin∠MPA=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴l₁，l₂之间的夹角小于90°，④错误．
故答案为：②③．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了基本不等式的用法，考查直线和圆的位置关系的应用，属中档题．