Question

16．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{2x+1}{x^2}，x∈（{-∞，-\frac{1}{2}}）\\ ln（{x+1}），x∈[{-\frac{1}{2}，+∞}）\end{array}\right.$．g（x）=x²-4x-4．设b为实数，若存在实数a，使f（a）+g（b）=0，则b的取值范围是[-1，5]．

Answer 1

分析 由分段函数的定义分别求各部分的函数值的取值范围，从而得到函数f（x）的值域，从而化为最值问题即可．

解答 解：当x$∈（-∞，-\frac{1}{2}）$时，f（x）=$（\frac{1}{x}+1）^{2}$-1∈[-1，0），
当x$∈[-\frac{1}{2}，+∞）$时，f（x）=ln（x+1）∈[-ln2，+∞），
所以f（x）∈[-1，+∞），
所以只要g（b）∈（-∞，1]即可，
即（b-2）²-8∈（-∞，1]，
解得b∈[-1，5]．
故答案为：[-1，5]．

点评 本题考查了分段函数的应用及配方法求最值的应用，同时考查了恒成立问题，属于中档题．