Question

8．若公比为q（q＞0）的等比数列{a_n}的首项a₁=1，且满足a_n=$\frac{{a}_{n-2}-{a}_{n-1}}{2}$（n=3，4，5…）．公差为d的等差数列{b_n}满足b₁+b₃=4，b₂+b₄=6．
（1）求q的值及数列{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_nb_n．求数列{c_n}的前项和S_n．

Answer 1

分析 （1）当n≥3时，满足a_n=$\frac{{a}_{n-2}-{a}_{n-1}}{2}$，取n=3时，2a₃=a₁-a₂，利用等比数列的通项公式即可得出；利用等差数列的通项公式可得b_n．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）当n≥3时，满足a_n=$\frac{{a}_{n-2}-{a}_{n-1}}{2}$，
取n=3时，2a₃=a₁-a₂，
∴2q²=1-q，q＞0，
解得q=$\frac{1}{2}$．
∴${a}_{n}=1×（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
∵公差为d的等差数列{b_n}满足b₁+b₃=4，b₂+b₄=6，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{b}_{1}+2d=4}\\{2{b}_{1}+4d=6}\end{array}\right.$，解得b₁=d=1．
∴b_n=1+（n-1）=n．
（2）c_n=a_nb_n=$n×\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴数列{c_n}的前项和S_n=$1+2×\frac{1}{2}+3×（\frac{1}{2}）^{2}$+…+$n×（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}+2×（\frac{1}{2}）^{2}$+…+（n-1）×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$+$n×（\frac{1}{2}）^{n}$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$1+\frac{1}{2}+（\frac{1}{2}）^{2}$+…+$（\frac{1}{2}）^{n-1}$-n×$（\frac{1}{2}）^{n}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$$-n×（\frac{1}{2}）^{n}$=$2-\frac{2+n}{{2}^{n}}$，
∴S_n=4-$\frac{2+n}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．