Question

己知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

6

3

，过点A（O，-b）和B（a，o）的直线到原点的距离为

3

2

．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线y=kx+2（k≠o）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在常数k，使得以CD为直径的圆过坐标原点？若存在，求出k，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据A，B的坐标可表示直线AB的方程进而求得原点到直线的距离求得a和b的关系式，进而根据椭圆的离心率求得a和b，则椭圆方程可得．
（Ⅱ）假设存在这样的k，则直线方程可得与椭圆方程联立根据判别式求得k的范围，设出C，D点坐标，则根据韦达定理可表示出x₁+x₂和x₁x₂，当且仅当OC⊥OD，即

y1

x1

•

y2

x2

=-1时，以CD为直径的圆过原点O（0，0），求得y₁y₂+x₁x₂=0，根据直线方程和x₁x₂的表达式求得y₁y₂，建立等式求得k．

解答：解：（Ⅰ）直线AB方程为：bx-ay-ab=0
依题意

c a = 6 3 ab a2+b2 = 3 2

解得

a= 3 b=1

∴椭圆方程为

x2

3

+y2=1
（Ⅱ）假设存在这样的k，
由

y=kx+2 x2+3y2-3=0

得（1+3k²）x²+12kx+9=0（8分）
则△=（12k）²-36（1+3k²）＞0①
设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），则

x1+x2=- 12k 1+3k2 x1•x2= 9 1+3k2

②
当且仅当OC⊥OD，即

y1

x1

•

y2

x2

=-1时，以CD为直径的圆过原点O（0，0），
即y₁y₂+x₁x₂=0
而y₁•y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4．
∴（k²+1）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0． ③
将②式代入③整理解得k=±

39

3

经验证，k=±

39

3

，使①成立
综上可知，存在k=±

39

3

，使得以CD为直径的圆过原点O（0，0）

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程，还考查直线与椭圆的关系．