Question

5．设a，b是两个不相等的正数，且alna+b=blnb+a，则（　　）

• A． （a-1）（b-1）＞0
• B． 0＜a+b＜2
• C． ab＞1
• D． 0＜ab＜1

Answer 1

分析 由条件可得alna-a=blnb-b，设f（x）=xlnx-x，x＞0，求得导数和单调区间、极值，设0＜a＜1，b＞1，排除A；
通过f（x）的零点的范围，举b=2，排除B；由f（a）-2ln2+2＜0，可得0＜a＜0.5，排除C，可得D正确．

解答 解：由alna+b=blnb+a，得alna-a=blnb-b，
设f（x）=xlnx-x，x＞0，
则f′（x）=1+lnx-1=lnx，
由f′（x）＞0得lnx＞0，得x＞1，
由f′（x）＜0得lnx＜0，得0＜x＜1，
即当x=1时，函数f（x）取得极小值-1，
alna-a=blnb-b，等价为f（a）=f（b），
则a，b一个大于1，一个小于1，
不妨设0＜a＜1，b＞1．
则a+b-ab＞1等价为（a-1）（1-b）＞0，
则（a-1）（b-1）＜0，故A不正确；
由f（2）=2ln2-2＜0，f（3）=3ln3-3＞0，可得f（x）=xlnx-x的一个零点介于（2，3），
可设2＜b＜3，则a+b＞2，故0＜a+b＜2不正确，故B不正确；
当b=2时，即有f（a）=f（2）=2ln2-2，
设g（a）=alna-a-2ln2+2，由g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$ln$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$-2ln2+2=$\frac{3}{2}$-$\frac{5}{2}$ln2＜0，
可得此时0＜a＜$\frac{1}{2}$，
即有ab＜1，故C不正确；
由排除法，可得D正确．
故选：D．

点评 本题考查函数和方程的转化思想，注意构造函数，求出导数，判断单调性，考查特殊值法解选择题的方法，考查运算能力，属于中档题．