Question

如图，棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求证：AC⊥平面B₁D₁DB；
（2）求证：BD₁⊥平面ACB₁
（3）求三棱锥B-ACB₁体积．

Answer 1

（1）证明：∵AC⊥BD，AC⊥BB₁，
∴AC⊥平面B₁D₁DB．
（2）证明：连接A₁B，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
面A₁B₁BA是正方形，对角线A₁B⊥AB₁，
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁A₁⊥面A₁B₁BA，AB₁在面A₁B₁BA上，
∴D₁A₁⊥AB₁，
∵AB₁⊥A₁B，AB₁⊥D₁A₁，
A1B和D₁A₁是面A₁BD₁内的相交直线，
∴AB₁⊥面A₁BD₁，又BD₁在面A₁BD₁上，
∴AB₁⊥BD₁，同理，D₁D⊥面ABCD，
AC在面ABCD上，D₁D⊥AC，
在正方形ABCD中对角线AC⊥BD，
∵AC⊥D1D，AC⊥BD，D1D和BD是面BDD1内的相交直线，
∴AC⊥面BDD₁，又BD₁在面BDD₁上，
∴AC⊥BD₁，
∵BD₁⊥AB₁，BD₁⊥AC，
AB₁和AC是面ACB₁内的相交直线
∴BD₁⊥面ACB₁．
（3）解：三棱锥B-ACB₁，也就是ABC为底，BB₁为高的三棱锥，
三棱锥B-ACB₁体积
V=×AB×AD×BB₁=．
分析：（1）由AC⊥BD，知AC⊥BB₁，由此能够证明AC⊥平面B₁D₁DB．
（2）连接A₁B，A₁B⊥AB₁，D₁A₁⊥AB₁．由AB₁⊥A₁B，AB₁⊥D₁A₁，A1B和D₁A₁是面A₁BD₁内的相交直线，所以AB₁⊥面A₁BD₁，又BD₁在面A₁BD上，AB₁⊥BD₁，同理，AC⊥BD₁．由此能够证明BD₁⊥面ACB₁．
（3）三棱锥B-ACB₁，也就是ABC为底，BB₁为高的三棱锥．由此能求出三棱锥B-ACB₁体积．
点评：本题考查空间几何体的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．