Question

【题目】已知数列{an}满足a1= ，an+1=10an+1．
（1）证明数列{an+ }是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}满足bn=lg（an+ ），Tn为数列{ }的前n项和，求证：Tn＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由an+1=10an+1得an+1+ =10an+ =10（an+ ），

∴ =10，

∴数列{an+ }是等比数列，首项为a1+ =100，公比为10，

∴an+ =100×10n﹣1=10n+1，

所以an=10n+1﹣ ．

（2）解：由（1）可得：bn=lg（an+ ）=lg10n+1=n+1，

∴ = = ﹣ ，

∴Tn=（ ﹣ ）+（ ﹣ ）++（ ﹣ ）= ﹣ ＜ ，

∴Tn＜ ．

【解析】（1）由题意可知：构造等比数列，an+1+ =10an+ =10（an+ ），则数列{an+ }是以100为首项，10为公比的等比数列，利用等比数列通项公式，即可求得数列{an}的通项公式；（2）由（1）可知bn=lg（an+ ）=n+1，利用“裂项法”即可求得Tn，即可求得Tn＜ ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．