Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-x2+ax（a为常数）
（1）若f（x）在区间[-1，2]上单调递减，求a的取值范围；
（2）若f（x）与直线y=-9相切：
（ⅰ）求a的值；
（ⅱ）设f（x）在x₁，x₂（x₁＜x₂）处取得极值，记点M （x₁，f（x₁）），N（x₂，f（x₂）），P（m，f（m）），x₁＜m＜x₂，若对任意的m∈（t，x₂），线段MP与曲线f（x）均有异于M，P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）f（x）在区间[-1，2]上单调递减可得f′（x）=x²-2x+a≤0在x∈[-1，2]上恒成立，分离常数啊a，只需求出（-x²+2x）在给定区间的最小值即可；（2）
（i）f（x）与直线y=-9相切，故x²-2x+a=0①，且

1

3

x3-x2+ax=-9②联立解得x值，进而求a的值，（ii）线段MP与曲线f（x）有异于M，P的公共点等价于上述方程在（-1，m）上有实根等价于g′（x）=3x²-6x-（m²-4m+4）=0在（-1，m）内有两不相等的实根，解关于m的不等式可得．

解答：解：（1）f（x）在区间[-1，2]上单调递减，则f′（x）≤0在x∈[-1，2]上恒成立，
即x²-2x+a≤0在x∈[-1，2]上恒成立，由a≤-x²+2x得，a≤（-x²+2x）_min
而y=-x²+2x是开口向下的抛物线对称轴为直线x=1，故在x=-1处取到最小值-3，
故a的取值范围为：a≤-3
（2）（i）f（x）与直线y=-9相切，故x²-2x+a=0①，且

1

3

x3-x2+ax=-9②
由①得a=-x²+2x代入②得

1

3

x3-x2-x3+2x2=-9，化简得2x³-3x²-27=0，
即x³-3x²+x³-27=0，故x²（x-3）+（x-3）（x²+3x+9）=0，
则（x-3）（2x²+3x+9）=0，而2x²+3x+9恒大于0，只有x-3=0，
故x=3代入a=-x²+2x，得a=-3  
（ii）由（i）得f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（3，+∞），单调递减区间为（-1，3），
所以函数在x=-1，x=3处取得极值，故M（-1，

5

3

）N（3，-9）
所以直线MP的方程为y=

m2-4m-5

3

x+

m2-4m

3

，
由

y= m2-4m-5 3 x+ m2-4m 3 y= 1 3 x3-x2-3x

得x³-3x²-（m²-4m+4）x-m²-4m=0
线段MP与曲线f（x）有异于M，P的公共点等价于上述方程在（-1，m）上有实根，
即函数g（x）=x³-3x²-（m²-4m+4）x-m²-4m在（-1，m）上有零点．
又因为函数g（x）为三次函数，所以g（x）至多有三个零点，两个极值点，
又因为g（-1）=g（m）=0，
因此，g（x）在（-1，m）上有零点等价于g（x）在（-1，m）上恰有一个极大值点和一个极小值点，
即g′（x）=3x²-6x-（m²-4m+4）=0在（-1，m）内有两不相等的实根，
等价于

△=36+12(m2-4m+4)＞0 3(-1)2+6-(m2-4m+4)＞0 3m2-6m-(m2-4m+4)＞0 m＞1

即

-1＜m＜5 m＞2或m＜-1 m＞1

，
解得2＜m＜5又-1＜m≤3，所以m 的取值范围为（2，3）
故满足题设条件的t的最小值为2．

点评：本题为函数导数的综合应用，分离常数把问题转化为求函数的最值问题是解决问题的关键，属中档题．