Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形.已知，，.

（1）设是上的一点，证明：平面平面；

（2）当点位于线段什么位置时，平面？

（3）求四棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）点位于线段靠近点的三等分点处时；（3）24.

【解析】

试题分析：（1）证明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，往往需要多次利用线面垂直判定与性质定理：本题先根据平几知识得到线线垂直，再结合面面垂直条件，转化为线面垂直（2）分析思路先根据线面平行性质定理，转化为线线平行，再根据线线平行转化为对应线段成比例，得到M点位置.最后证明逆推：即由从线线平行证线面平行（3）求三棱锥体积，关键在于确定高，即明确线面垂直，再根据体积公式计算，本题可根据面面垂直得线面垂直，即高线.

试题解析：（1）证明：在中，

∵，，，∴.

∴.

又平面平面，

平面平面，平面，

∴平面.

又平面，∴平面平面.

（2）当点位于线段靠近点的三等分点处时，

平面.

证明如下：连接，交于点，连接.

∵，∴四边形是梯形.

∵，

∴，

又∵，∴，∴.

∵平面，平面，∴平面.

（3）过点作交于,

∵平面平面，∴平面.

即为四棱锥的高，

又是边长为4的等边三角形，∴.

在中，斜边上的高为，此即为梯形的高.

梯形的面积.

四棱锥的体积.