Question

22.对于函数f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，则称x₀为f（x）的不动点.

已知函数f（x）=ax²+（b+1）x+（b－1）（a≠0）.

（1）当a=1，b=－2时，求函数f（x）的不动点；

（2）若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若y=f（x）图象上A、B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B两点关于直线y=kx+对称，求b的最小值.

Answer 1

22.

解：（1）当a=1，b=－2时，f（x）=x²－x－3.

由题意可知x=x²－x－3，得x₁=－1，x₂=3.

故当a=1，b=－2时，f（x）的两个不动点为－1、3.

 

（2）∵f（x）=ax²+（b+1）x+（b－1）（a≠0）恒有两个不动点，

∴x=ax²+（b+1）x+（b－1），即ax²+bx+（b－1）=0恒有两个相异的实数根，

得Δ=b²－4ab+4a＞0（b∈R）恒成立.

于是Δ′=（4a）²－16a＜0，解得0＜a＜1.

故当b∈R，f（x）恒有两个相互的不动点时，a的取值范围为0＜a＜1.

 

（3）由题意，A、B两点应在直线y=x上.设A（x₁，x₁）、B（x₂，x₂）.

∵点A、B关于直线y=kx+对称，

∴k=－1

设AB的中点为M（x′，y′）

∵x₁、x₂是方程ax²+bx+（b－1）=0的两个根，

∴x′=y′==－.

于是，由M在直线y=－x+上，得－=+，

即b=－=－.

∵a＞0，∴2a+≥2，

当且仅当2a=，即a=∈（0，1）时取等号.

故b≥－，得b的最小值为－.