Question

设函数f（x）=（x²+3x+m）•e^-x（其中m∈R，e是自然对数的底数）
（I）若m=3，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（II）若函数f（x）在（-∞，0）上有两个极值点．
①求实数m的范围；     
②证明f（x）的极小值大于e．

Answer 1

分析：（I）先求导函数f'（x），求出f′（0）得到切线的斜率，然后求出切点坐标，最后利用点斜式可求出切线方程；
（II）①由（I）知f'（x）=-（x²+x+m-3）•e^-x，要使函数f（x）在（-∞，0）上有两个极值点只要方程g（x）=x²+x+m-3=0有两个不等的负根，建立关于m的不等式，解之即可求出m的取值范围；
②先求出极小值，然后利用对称轴和g（0）＞0求出极小值点的取值范围，最后利用导数研究函数在区间上的最小值即可．

解答：解：（I）f'（x）=-（x²+x+m-3）•e^-x
∵m=3
∴f（x）=（x²+3x+3）•e^-x，f'（x）=-（x²+x）•e^-x
∴f（0）=3，f′（0）=0
故曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：y=3
（II）①由（I）知f'（x）=-（x²+x+m-3）•e^-x，要使函数f（x）在（-∞，0）上有两个极值点
只要方程g（x）=x²+x+m-3=0有两个不等的负根
那么实数m应满足

△＞0 m-3＞0

解得3＜m＜

13

4

，
②设两负根为x₁，x₂且x₁＜x₂＜0，可知x=x₁时有极小值f（x₁）
由于对称轴为x=-

1

2

，g（0）＞0，所以-1＜x₁＜-

1

2

，且

x

2 1

+x₁+m-3=0得m=3-

x

2 1

-x₁，
∴f（x₁）=（

x

2 1

+3x₁+m）•e-x1=（2x₁+3）•e-x1，（-1＜x₁＜-

1

2

）
令h（x）=（2x+3）•e^-x
∵h′（x）=（-1-2x）•e^-x＞0，即h（x）在x∈（-1，-

1

2

）上单调递增，
∴h（x）＞h（-1）=e
故f（x₁）＞e

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的切线，以及求函数的最值，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于中档题．