Question

【题目】若数列{an}满足:对任意n∈N*,均有an=bn+cn成立,且{bn},{cn}都是等比数列,则称(bn,cn)是数列{an}的一个等比拆分.

（1）若an=2n,且(bn,bn+1)是数列{an}的一个等比拆分,求{bn}的通项公式;

（2）设(bn,cn)是数列{an}的一个等比拆分,且记{bn},{cn}的公比分别为q1,q2;

①若{an}是公比为q的等比数列,求证:q1=q2=q;

②若a1=1,a2=2,q1q2=﹣1,且对任意n∈N*,an+13<anan+1an+2+an+2﹣an恒成立,求a3的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）.（2）①答案见解析, ②(3,7).

【解析】

（1）设数列{bn}的公比为q0,根据已知求出，即得{bn}的通项公式;（2）①由an=bn+cn,可得, 令n=1,2,3得:，对方程进行分析得q1=q2=q; ②令Tn,证明对任意n∈N*,均有Tn+1=﹣Tn成立，得，可得,解得3＜a3＜7.

（1）设数列{bn}的公比为q0,则(b1q0≠0)对任意n∈N*成立,

令n=1,2可得:,解得:,

∴,经检验符合题意;

（2）①由an=bn+cn,可得,

令n=1,2,3得:

(1)代入(2)得b1(q1﹣q)=c1(q﹣q2), (2)代入(3)得b1q1(q1﹣q)=c1q2(q﹣q2),

如果q1,q2不全等于q,显然它们一定都不等于q,

因此考虑q1≠q且q2≠q的情况,此时用后式除以前式可得q1=q2,

再将其代入到a1=b1+c1,a1q=b1q1+c1q2,可得q1=q2=q,矛盾,

因此只能q1=q2=q,经验证符合题意;

②令Tn,

则当n为偶数时,,

同理,当n为奇数时,可算的,

所以对任意n∈N*,均有Tn+1=﹣Tn成立

由Tn+1=﹣Tn可得,

因为an≠0,因此可化简得,

所以,

要使原不等式恒成立,显然必有an＞0,即恒成立,

而T1=4﹣a3,因此可得,解得3＜a3＜7,

综上所述,a3的取值范围为(3,7).