Question

15．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1$的左、右焦点为F₁、F₂，点F₁关于直线y=-x的对称点P仍在椭圆上，则△PF₁F₂的周长为2$\sqrt{2}$+2．

Answer 1

分析 设出椭圆的左焦点，关于直线y=-x的对称点P（m，n），由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，以及中点坐标公式解得m=0，n=c，由椭圆方程可得b=c=1，进而得到a的值，再由椭圆的定义可得周长为2a+2c．

解答 解：设椭圆的左焦点为（-c，0），
点F₁关于直线y=-x的对称点P（m，n），
由$\frac{n-0}{m+c}$=1，$\frac{n}{2}$=-$\frac{m-c}{2}$，解得m=0，n=c，
即P（0，c），
由题意方程可得b=c=1，a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
由题意的定义可得△PF₁F₂的周长为2a+2c=2$\sqrt{2}$+2．
故答案为：2$\sqrt{2}$+2．

点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查点关于直线对称的条件，考查运算能力，属于基础题．