Question

20．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$的右焦点为F，双曲线${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$的一条渐近线与椭圆C交于A，B两点，且
AF⊥BF，则椭圆C的离心率为$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 求得双曲线的渐近线方程，代入椭圆方程，求得A，B的坐标，再由直角三角形的斜边的中线为斜边的一半，化简整理，由离心率公式解方程即可得到所求值．

解答 解：设双曲线${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$的一条渐近线为y=$\sqrt{3}$x，
代入椭圆方程，可得x²=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+3{a}^{2}}$，
即有A（$\frac{ab}{\sqrt{{b}^{2}+3{a}^{2}}}$，$\frac{\sqrt{3}ab}{\sqrt{{b}^{2}+3{a}^{2}}}$），B（-$\frac{ab}{\sqrt{{b}^{2}+3{a}^{2}}}$，-$\frac{\sqrt{3}ab}{\sqrt{{b}^{2}+3{a}^{2}}}$），
由AF⊥BF可得，|OF|=$\frac{1}{2}$|AB|，
即为c=$\frac{2ab}{\sqrt{{b}^{2}+3{a}^{2}}}$，即c²（4a²-c²）=4a²（a²-c²），
即c⁴-8a²c²+4a⁴=0，
即有e⁴-8e²+4=0，解得e²=4-2$\sqrt{3}$（4+2$\sqrt{3}$舍去），
即有e=$\sqrt{3}$-1．
故答案为：$\sqrt{3}$-1．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和椭圆方程联立，求交点，运用直角三角形的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．