Question

10．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c．且c²=2a²+b²，可导函数f（x）满足xf′（x）＜2f（x），则（　　）

• A． sin²A•f（sinB）＜sin²B•f（sinA）
• B． sin²A•f（sinA）＞sin²B•f（sinB）
• C． cos²B•f（sinA）＜sin²A•f（cosB）
• D． cos²B•f（sinA）＞sin²A•f（cosB）

Answer 1

分析 构造函数g（x），求出g（x）的导数，得到函数的单调性，从而判断出答案即可．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$（0＜x＜1），
则g′（x）=$\frac{xf′（x）-2f（x）}{{x}^{3}}$，
∵0＜x＜1，f′（x）＜2f（x），
∴g′（x）=$\frac{xf′（x）-2f（x）}{{x}^{3}}$＜0，
∴g（x）单调递减，
∵c²=2a²+b²，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=-$\frac{a}{2b}$＜0，
∴C是钝角，∴A+B＜$\frac{π}{2}$，
∴0＜sinA＜sin（$\frac{π}{2}$-B）=cosB＜1，
∴g（sinA）＞g（cosB），
∴$\frac{f（sinA）}{{sin}^{2}A}$＞$\frac{f（cosB）}{{cos}^{2}B}$，
∴cos²B•f（sinA）＞sin²A•f（cosB），
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数g（x）是解题的关键，本题是一道中档题．