Question

15．已知点P是曲线f（x）=x³-x上的点，且点P的横坐标是1．
（I）求证：函数f（x）在[1，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）求曲线f（x）在点P处的切线方程．

Answer 1

分析 （I）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可证明函数f（x）在[1，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）根据导数的几何意义即可求曲线f（x）在点P处的切线方程．

解答 证明：（I）函数的导数f′（x）=3x²-1，
当x≥1时，f′（x）=3x²-1≥3-1=2，
则f′（x）＞0恒成立，即可函数f（x）在[1，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）函数的导数f′（x）=3x²-1，
则f′（1）=3-1=2，
即f（x）在点P处的切线斜率k=f′（1）=2，
∵f（1）=1³-1=0，∴P（1，0），
则曲线f（x）在点P处的切线方程为y=2（x-1）=2x-2．

点评 本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系以及利用导数的几何意义求函数的切线问题，求函数的导数，利用导数的综合应用是解决本题的关键．