Question

3．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分折，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．
（I）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）
（Ⅱ）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如表：

学生序号i	1	2	3	4	5	6	7
数学成绩xi	60	65	70	75	85	87	90
物理成绩yi	70	77	80	85	90	86	93

（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（ii）根据上表数据，求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程（系数精确到0.01）；
若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？
附：回归直线的方程是：$\widehat{y}=bx+a$，其中b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，a=$\overline{y}-b\overline{x}$．

$\overline{x}$	$\overline{y}$	$\sum_{i=1}^{7}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}$	$\sum_{i=1}^{7}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）$
76	83	812	526

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．
（Ⅱ）（i）ξ的取值为0，1，2，3，计算出相应的概率，即可得ξ的分布列和数学期望．
（ii）根据条件求出线性回归方程，进行求解即可．

解答 （Ⅰ）解：依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为$\frac{7}{42}×24=4$名，
18名男同学中应抽取的人数为$\frac{7}{42}×$18=3名，
故不同的样本的个数为${C}_{24}^{4}{C}_{18}^{3}$．
（Ⅱ） （ⅰ）解：∵7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名，
∴ξ的取值为0，1，2，3．
∴P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{4}{35}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{18}{35}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{12}{35}$，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{1}{35}$，
∴ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{4}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{1}{35}$

Eξ=0×$\frac{4}{35}$+1×$\frac{18}{35}$+2×$\frac{12}{35}$+3×$\frac{1}{35}$=$\frac{9}{7}$．
（ⅱ）解：∵b=$\frac{526}{812}≈$0.65，a=$\overline{y}-b\overline{x}$=83-0.65×75=33.60．
∴线性回归方程为$\widehat{y}$=0.65x+33.60
当x=96时，$\widehat{y}$=0.65×96+33.60=96．
可预测该同学的物理成绩为96分．

点评 本题主要考查分层抽样，离散型随机变量的分布列和期望以及线性回归方程，考查学生的计算能力，综合性较强．