Question

2．在△ABC中，点D满足$\overrightarrow{AD}$=$\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$，P为△ABC内一点，且满足$\overrightarrow{AP}$=$\frac{3}{10}\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$，则$\frac{{S}_{△APD}}{{S}_{△ABC}}$=（　　）

• A． $\frac{3}{10}$
• B． $\frac{9}{20}$
• C． $\frac{6}{35}$
• D． $\frac{9}{35}$

Answer 1

分析 可作出图形，并作$\overrightarrow{AE}=\frac{3}{10}\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AF}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$，以AE，AF为邻边作平行四边形AEPF，从而有$AE=\frac{3}{10}AB，PE=\frac{2}{5}AC$，这样即可求出${S}_{△APE}=\frac{6}{50}{S}_{△ABC}$，而同理可以求得${S}_{△PDE}=\frac{9}{50}{S}_{△ABC}$，从而便可求得$\frac{{S}_{△APD}}{{S}_{△ABC}}$的值．

解答 解：如图，作$\overrightarrow{AE}=\frac{3}{10}\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AF}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$，以AE，AF为邻边作平行四边形AEPF；

∵E在AB上，$AE=\frac{3}{10}AB，PE=\frac{2}{5}AC$，且PE∥AC；
∴${S}_{△APE}=\frac{3}{10}•\frac{2}{5}{S}_{△ABC}=\frac{6}{50}{S}_{△ABC}$；
又$AE=\frac{3}{10}AB，AD=\frac{3}{4}AB$，∴$ED=\frac{9}{20}AB$，且$PE=\frac{2}{5}AC$，PE∥AC；
∴${S}_{△PDE}=\frac{9}{20}•\frac{2}{5}{S}_{△ABC}=\frac{9}{50}{S}_{△ABC}$；
∴${S}_{△APD}=（\frac{6}{50}+\frac{9}{50}）{S}_{△ABC}=\frac{3}{10}{S}_{△ABC}$；
∴$\frac{{S}_{△APD}}{{S}_{△ABC}}=\frac{3}{10}$．
故选：A．

点评 考查向量数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，以及三角形的面积公式，相似三角形对应边的比例关系．