Question

12．已知平面上三点A、B、C满足|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{CA}$|=2$\sqrt{2}$，则$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$的值等于-8．

Answer 1

分析 由三边的平方和的关系，可得△ABC为直角三角形，由$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{0}$，两边平方结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．

解答 解：由|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{CA}$|=2$\sqrt{2}$，可得：
|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{BC}$|²=|$\overrightarrow{CA}$|²，
即有△ABC为直角三角形，
由$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{0}$，两边平方可得，
|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{BC}$|²+|$\overrightarrow{CA}$|²+2（$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$）=0，
即有$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$=-$\frac{1}{2}$（|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{BC}$|²+|$\overrightarrow{CA}$|²）
=-$\frac{1}{2}$×（3+5+8）=-8．
故答案为：-8．

点评 本题考查向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，注意平方法的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．