Question

17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=$\frac{2π}{3}$时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（　　）

• A． f（1）＜f（-1）＜f（0）
• B． f（0）＜f（1）＜f（-1）
• C． f（-1）＜f（0）＜f（1）
• D． f（1）＜f（0）＜f（-1）

Answer 1

分析 由周期为π可得ω，再由最小值可得φ值，由三角函数的单调性可得．

解答 解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）的最小正周期为π，
∴ω=$\frac{2π}{π}$=2，故f（x）=Asin（2x+φ），
∵当x=$\frac{2π}{3}$时，函数f（x）取得最小值，
∴2×$\frac{2π}{3}$+φ=2kπ-$\frac{π}{2}$，解得φ=2kπ-$\frac{11π}{6}$，k∈Z，
故可取k=1时，φ=$\frac{π}{6}$，故f（x）=Asin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴f（-1）=Asin（-2+$\frac{π}{6}$）＜0，f（1）=Asin（2+$\frac{π}{6}$）＞0，
f（0）=Asin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$A＞0，故f（-1）最小，
又sin（2+$\frac{π}{6}$）=sin（π-2-$\frac{π}{6}$）=sin（$\frac{5π}{6}$-2）＞sin$\frac{π}{6}$，
故f（1）＞f（0），
综合可得f（-1）＜f（0）＜f（1）
故选：C

点评 本题考查正弦函数的图象，涉及函数的周期性和最值以及函数单调性比较式子大小，属中档题．