Question

12．设椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$经过点（$\frac{2}{3}，\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$），且其左焦点坐标为（-1，0）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线l，m，其中l交椭圆于M，N，m交椭圆于P，Q，求|MN|+|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆经过点（$\frac{2}{3}，\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$），且其左焦点坐标为（-1，0），求出a，b，c，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）当直线l₁，l₂中有一条直线的斜率不存在时，|MN|+|PQ|=7；当直线l₁的斜率存在且不为0时，设直线l₁的方程y=k（x-1），代入椭圆方程，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用韦达定理、弦长公式求出|MN|，设直线l₂的方程为y=-$\frac{1}{k}$（x-1），同理得：|PQ|=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{4+3{k}^{2}}$，由此能求出|MN|+|PQ|的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$经过点（$\frac{2}{3}，\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$），且其左焦点坐标为（-1，0），
∴c=1，2a=$\sqrt{\frac{25}{9}+\frac{24}{9}}$+$\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{24}{9}}$=4，∴b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$． …（4分）
（Ⅱ）①当直线l₁，l₂中有一条直线的斜率不存在时，|MN|+|PQ|=7．…（5分）
②当直线l₁的斜率存在且不为0时，设直线l₁的方程y=k（x-1），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
|MN|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，
设直线l₂的方程为y=-$\frac{1}{k}$（x-1），同理得：|PQ|=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{4+3{k}^{2}}$，
所以|MN|+|PQ|=$\frac{84（{k}^{2}+1）^{2}}{（4+3{k}^{2}）（3+4{k}^{2}）}$，…（9分）
设t=k²+1，则t＞1，所以$\frac{1}{t}=\frac{1}{2}$时，|MN|+|PQ|有最小值$\frac{48}{7}＜7$．
综上，|MN|+|PQ|的最小值是$\frac{48}{7}$．…（12分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查两线段和的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、弦长公式的合理运用．