Question

5．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，椭圆C与y轴交于A、B两点，|AB|=2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点P是椭圆C上的动点，且直线PA，PB与直线x=4分别交于M、N两点，是否存在点P，使得以MN为直径的圆经过点（2，0）？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用椭圆的离心率公式，以及a，b，c的关系，计算即可得到所求椭圆方程；
（Ⅱ）设P（m，n），可得$\frac{{m}^{2}}{4}$+n²=1，可得A（0，1），B（0，-1），设M（4，s），N（4，t），运用三点共线的条件：斜率相等，求得M，N的坐标，再由直径所对的圆周角为直角，运用垂直的条件：斜率之积为-1，计算即可求得m，检验即可判断是否存在．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2b=2，即b=1，
又a²-c²=1，解得a=2，c=$\sqrt{3}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）设P（m，n），可得$\frac{{m}^{2}}{4}$+n²=1，
即有n²=1-$\frac{{m}^{2}}{4}$，
由题意可得A（0，1），B（0，-1），设M（4，s），N（4，t），
由P，A，M共线可得，k_PA=k_MA，即为$\frac{n-1}{m}$=$\frac{s-1}{4}$，
可得s=1+$\frac{4（n-1）}{m}$，
由P，B，N共线可得，k_PB=k_NB，即为$\frac{n+1}{m}$=$\frac{t+1}{4}$，
可得s=$\frac{4（n+1）}{m}$-1．
假设存在点P，使得以MN为直径的圆经过点Q（2，0）．
可得QM⊥QN，即有$\frac{s}{2}$•$\frac{t}{2}$=-1，即st=-4．
即有[1+$\frac{4（n-1）}{m}$][$\frac{4（n+1）}{m}$-1]=-4，
化为-4m²=16n²-（4-m）²=16-4m²-（4-m）²，
解得m=0或8，
由P，A，B不重合，以及|m|＜2，可得P不存在．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式，考查存在性问题的解法，注意运用三点共线的条件：斜率相等，直径所对的圆周角为直角，考查化简整理的运算能力，属于中档题．