Question

8．在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球4个，白球3个，蓝球3个．现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球．重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球．求：
（Ⅰ）最多取两次就结束的概率；
（Ⅱ）整个过程中恰好取到2个白球的概率；
（Ⅲ）设取球的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设取球的次数为ξ，最多取两次就结束的概率P₁=P（ξ=1）+P（ξ=2），由此能求出结果．
（Ⅱ）由题意可知，可以如下取球：红白白，白红白，白白红，白白蓝，由此能求出恰好取到2个白球的概率．
（Ⅲ）随机变量X的取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设取球的次数为ξ，
则P（ξ=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{10}^{1}}$=$\frac{3}{10}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{7}^{1}}{{C}_{10}^{1}}×\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{10}^{1}}$=$\frac{21}{100}$，
所以最多取两次就结束的概率P₁=P（ξ=1）+P（ξ=2）=$\frac{51}{100}$．…（4分）
（Ⅱ）由题意可知，可以如下取球：红白白，白红白，白白红，白白蓝，
所以恰好取到2个白球的概率：
P₂=$\frac{4}{10}×\frac{3}{10}×\frac{3}{10}$×3+$\frac{3}{10}×\frac{3}{10}×\frac{3}{10}$=$\frac{135}{1000}$=$\frac{27}{200}$．…（8分）
（Ⅲ）随机变量X的取值为1，2，3  …（9分）
P（X=1）=$\frac{3}{10}$，
P（X=2）=$\frac{7}{10}×\frac{3}{10}$=$\frac{21}{100}$，
P（X=3）=$\frac{7}{10}×\frac{7}{10}×（\frac{3}{10}+\frac{7}{10}）$=$\frac{49}{100}$，…（12分）
随机变量X的分布列为：

X	1	2	3
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{21}{100}$	$\frac{49}{100}$

X的数学期望是$1×\frac{3}{10}+2×\frac{21}{100}+3×\frac{49}{100}$=$\frac{219}{100}$．…（13分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．